【为学故事】剖析数学实体，探求普遍规律——数学科学学院博士生田瑶关于正则p-地图的研究

为鼓励研究生学术创新和产出高水平学术成果，培养拔尖创新人才，学校设立了“研究生高水平学术创新项目”。项目实施以来，在各院系通力配合和研究生导师精心指导下，多名研究生取得了优异成绩和创新性成果。为此，研究生院推出【为学故事】系列报道，介绍2023年度“研究生高水平学术创新项目”优秀研究生及其科研工作，以期在广大研究生之中，倡导严谨笃学、求实求新之精神，培育勤勉致知、善学进取之学风。

田瑶（数学科学学院 基础数学专业 博士研究生）

导师：杜少飞

科研感言：独立思考，团结协作

我们通常使用的地图可以理解为连通图在闭曲面上的胞腔嵌入，而正则地图则指的是具有很高对称性的地图在球面上的胞腔嵌入。对正则地图进行分类，不仅是拓扑图论领域的中心问题之一，而且和数学其它领域，比如代数几何和Galois理论甚至数论，也有着深刻的联系。

在学校研究生高水平学术创新项目的支持下，在导师杜少飞教授的指导下，我研究了可定向正则p-地图以及正则p-地图的性质及结构。由于阶为p，p^2和p^3的正则地图已被完全分类，我自然想到了针对一般素数幂个顶点的地图进行研究。为此，我首先对p-地图进行了定义，然后研究了可定向正则p-地图、正则p-地图、奇数点的可定向正则π-地图以及正则π-地图的可解性和正规性，并且对非正规的p-地图进行了较为详细的刻画。我们所得到的结果为后续p-地图以及π-地图的研究奠定了理论基础，获得了相关领域知名学者的关注。上述研究成果已分别在Journal of Combinatorial Theory、Ars Mathematica Contemporanea、Journal of Algebraic Combinatorics等国际知名组合学期刊上发表。

本次项目研究的经历让我深刻体验到，做数学的过程就是对具体数学对象深度观察的过程。一开始，我并没有想到研究一般的p-地图，而只是在p^3的地图基础上去研究p^4或者p的更高幂次的地图。但随着我对p^3、p^4地图的探索愈加深入，我观察到了隐藏其中的一般性规律，最后成功将研究结果推广到了p-地图甚至到更一般的π-地图的情境之下。这让我想起韩裔数学家许埈珥的故事。在一篇介绍与许埈珥合作经历的文章里，威斯康星大学麦迪逊分校数学系副教授王博潼说到：“六月（即指：许埈珥）一直坚持只研究四维的拟阵，因为他觉得对这个情形还没有完全理解……几个月以后，当我们尝试用归纳法证明猜想对一般的拟阵成立时，六月几次基于他对四维拟阵的观察，给出了证明中的一些核心步骤……这深刻的理解，就是基于他对最简单情形极度仔细的耐心的观察。”我想，这可能就是许埈珥可以在相当晚的时候才开始学习数学，却最终成功获得菲尔兹奖的原因之一吧。